在計算機中，原碼、反碼、補碼 是用於表示有符號整數的三種編碼方式，主要用於解決二進制數的 正負表示 和 加減運算 問題。它們的核心區別在於 符號位的處理 和 負數的表示方法。
原碼（Sign-Magnitude）
定義
- 最高位（最左邊的一位）表示符號：
0表示正數（如+5）1表示負數（如-5）
- 其餘位表示數值的絕對值。
示例（8位二進制）
| 十進制 | 原碼錶示（8位） |
|---|---|
| +5 | 0000 0101 |
| -5 | 1000 0101 |
特點
✅ 直觀：和人類書寫習慣一致（正負號+數值）。
❌ 問題：
+0和-0不唯一：+0=0000 0000-0=1000 0000（計算機無法區分）
- 加減運算複雜：
- 需要額外判斷符號位，硬件實現麻煩。
反碼（Ones' Complement）
定義
- 正數：和原碼相同。
- 負數：在原碼基礎上，符號位不變，數值位取反（
0→1，1→0）。
示例（8位二進制）
| 十進制 | 反碼錶示（8位） |
|---|---|
| +5 | 0000 0101 |
| -5 | 1111 1010 |
| 十進制運算 | 反碼計算 | 反碼計算結果（十進制） |
|---|---|---|
| 1 +（-1）= 0 | [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 | -0 |
| 1 +（-2）= -1 | [0000 0001]反 + [1111 1101]反 = [1111 1110]反 = [1000 0001]原 | -1 |
| -1 +（2）= 1 | [1111 1110]反 + [0000 0010]反 = [0000 0000]反（溢出） = [0000 0000]原 | 0（溢出歸0） |
從上表可以看出，如果用反碼直接進行計算，雖然有所改善，但仍有問題，所以計算機中的運算也不能直接用反碼。
特點
仍然存在 +0 和 -0 問題
+0=0000 0000-0=1111 1111（仍然無意義）
運算仍需調整：
- 加減法後可能需要 “循環進位”（如
1 + (-1)=0000 0001+1111 1110=1111 1111（-0），需要額外加1修正）。
補碼（Two's Complement）⭐（現代計算機標準）
定義
- 正數：和原碼相同。
- 負數：在反碼基礎上 +1（即
原碼取反 + 1）。
示例（8位二進制）
| 十進制 | 補碼錶示（8位） |
|---|---|
| +5 | 0000 0101 |
| -5 | 1111 1011 |
計算 -5 的補碼
+5原碼 =0000 0101- 取反 =
1111 1010（反碼） - +1 =
1111 1011（補碼）
舉個例子，如果是8位的二進制數：
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]補
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]補
[-2] = [1000 0010]原 = [1111 1101]反 = [1111 1110]補
| 十進制運算 | 補碼計算 | 補碼計算結果（十進制） |
|---|---|---|
| 1 +（-1）= 0 | [0000 0001]補 + [1111 1111]補 = [0000 0000]補 = [0000 0000]原 | 0（溢出位捨棄） |
| 1 +（-2）= -1 | [0000 0001]補 + [1111 1110]補 = [1111 1111]補 = [1111 1110]反 = [1000 0001]原 | -1 |
| -1 +（2）= 1 | [1111 1111]補 + [0000 0010]補 = [0000 0001]補 = [0000 0001]原 | 1（溢出位捨棄） |
從上表可以看出，如果使用補碼進行計算，就可以正常的進行加法算術運算了。
特點
✅ 解決所有問題：
-
+0和-0統一：+0=0000 0000-0：原碼1000 0000→ 反碼1111 1111→ 補碼0000 0000（和+0相同）。
-
加減法直接運算：
5 + (-3)=0000 0101+1111 1101=0000 0010（2，正確）。
-
表示範圍更大：
- 8位補碼範圍：
-128（1000 0000）~+127（0111 1111），比原碼/反碼多一個數（-128）。
- 8位補碼範圍：
那麼至此，總結兩個非常重要的結論：
- 正數的原碼反碼補碼是一致的，負數的反碼是原碼除符號位取反，補碼是反碼+1。
- 計算機中有符號整數的存儲方式都是以補碼的形式存儲的，運算也是以補碼的形式計算的。
三種編碼對比（8位二進制）
| 十進制 | 原碼 | 反碼 | 補碼 |
|---|---|---|---|
| +5 | 0000 0101 |
0000 0101 |
0000 0101 |
| -5 | 1000 0101 |
1111 1010 |
1111 1011 |
| +0 | 0000 0000 |
0000 0000 |
0000 0000 |
| -0 | 1000 0000 |
1111 1111 |
0000 0000 |
| -128 | 無法表示 | 無法表示 | 1000 0000 |
為什麼計算機使用補碼
- 統一
+0和-0，避免歧義。- 加減法可以直接運算，無需額外判斷符號。
- 硬件實現簡單，CPU 只需加法器，無需額外電路。
- 表示範圍更大（如 8 位補碼可表示
-128~127，而原碼/反碼只能-127~127）。
常見問題
補碼 1000 0000 代表多少
- 在 8 位補碼中，
1000 0000表示-128（沒有對應的原碼/反碼）。
補碼的運算溢出怎麼辦
- 例如
127 + 1=0111 1111+0000 0001=1000 0000（-128，溢出）。 - CPU 會設置 溢出標誌位（OF），由程序員處理。
總結
| 編碼 | 優點 | 缺點 | 適用場景 |
|---|---|---|---|
| 原碼 | 直觀 | ±0 問題，運算複雜 |
早期計算機（已淘汰） |
| 反碼 | 改進負數表示 | ±0 仍存在，運算需調整 |
過渡方案（基本不用） |
| 補碼 | 無 ±0 問題，運算簡單 |
負數計算稍複雜 | 現代計算機標準 |
補碼是計算機存儲和處理有符號整數的 最優方案，理解它對於學習 計算機組成原理、編程（如整數溢出）、逆向工程 都至關重要！
