考研高等數學筆記01：函數與極限 緒論
1 緒論
1.1 微積分研究的主要內容
微積分研究的主要內容是：事物運動中的數量變化規律，包括：
\[事物運動中的數量變化規律 \begin{cases} 觀察方式\begin{cases}宏觀\\微觀\end{cases}\\\\ 變化方式\begin{cases}均勻變化\\非均勻變化\end{cases} \end{cases} \]
1.2 微觀方式的研究示例
（1）均勻變化：
設水平面上存在一物體，該物體從某時刻\(t_0\)開始進行勻速移動，至某時刻\(t_n\)時，該物體的移動距離為\(\Delta s\)
設該物體的移動速度為\(v\)，則有：
\[\tag{1} v = \frac{\Delta s}{t_n - t_0} \]
（2）非均勻變化
設水平面上存在一物體，該物體從某時刻\(t_0\)開始進行非勻速移動，至某時刻\(t_n\)時，該物體的移動距離為\(\Delta s\)
設\(t_0\)時刻至\(t_n\)時刻間該物體的平均移動速度為\(\overline{v}\)，則有：
\[\tag{2} \overline{v} = \frac{\Delta s}{t_n - t_0} \]
設\(t_n\)時刻，該物體的瞬時速度為\(v_1\)，則有：
\[\tag{3} v_1 \approx \overline{v} \]
且有：
\[v_1 = \lim_{t_n \to t_0}{\overline{v}} \]
\[\qquad\qquad= \lim_{t_n \to t_0}{\frac{\Delta s}{t_n - t_0}} \]
\[\qquad\quad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}} \]
\[\tag{4} \quad\qquad\qquad\qquad\qquad=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}} \]
\[\tag{5} \quad=\frac{ds}{dt} \]
1.3 宏觀方式的研究示例
（1）均勻變化：
設水平面上存在一物體，該物體從某時刻\(t_0\)開始，以速度\(v\)進行勻速移動，至某時刻\(t_n\)
設\(t_n\)時刻該物體的移動距離為\(s\)，則有：
\[\tag{6} s = v\cdot (t_n-t_0) \]
（2）非均勻變化
設水平面上存在一物體，該物體從某時刻\(t_0\)開始，進行非勻速移動，至某時刻\(t_n\)
設存在\(t_0\)至\(t_n\)間的某時刻\(t_{k-1}\)及某時刻\(t_k(t_k > t_{k-1})\)，且存在對應的瞬時速度\(v_{k-1}\)、\(v_k\)，使：
\[\tag{7} v_k \approx v_{k-1} \approx v(\xi_k) \]
設存在\(t_{k-1}\)至\(t_k\)間的移動距離\(\Delta s_k\)，則有：
\[\tag{8} \Delta s_k \approx v(\xi_k) \cdot (t_k - t_{k-1}) \approx v(\xi_k) \cdot \Delta t_k \]
設物體從\(t_0\)時刻至\(t_n\)時刻的總移動距離為\(s\)，則有：
\[\tag{9} s \approx \sum_{k=1}^n \Delta s_k \approx \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k \]
由極限相關性質可得：
\[\tag{10} \qquad\qquad s=\lim_{\Delta t_k \to 0}{\sum_{k=1}^n v(\xi_k) \cdot \Delta t_k} \]
\[\tag{11} =\int_{t_0}^{t_n} v(t) dt \]
