人工智能之數據分析 numpy

第九章 數組運算

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(文章目錄)

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前言

NumPy 不僅提供了高效的多維數組（ndarray）結構，還內置了豐富的數組運算功能，包括基礎算術、比較邏輯、位運算、通用函數（ufunc）、矩陣與線性代數等。這些運算是向量化的，無需顯式循環，性能遠超純 Python。

下面系統講解 NumPy 的各類數組運算。

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一、基礎算術運算（Element-wise Arithmetic）

NumPy 支持對數組進行逐元素（element-wise） 的四則運算和冪運算。

1. 基本運算符（支持廣播）

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

print(a + b)  # [5 7 9]
print(a - b)  # [-3 -3 -3]
print(a * b)  # [4 10 18]
print(a / b)  # [0.25 0.4  0.5 ]
print(a ** 2) # [1 4 9]
print(a % 2)  # [1 0 1]

2. 廣播（Broadcasting）示例

# 標量與數組運算
print(a + 10)   # [11 12 13]

# 不同形狀但兼容的數組
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])  # shape (2,3)
B = np.array([10, 20, 30])   # shape (3,)

print(A + B)
# [[11 22 33]
#  [14 25 36]] ← B 被廣播到每一行

✅ 廣播規則：從後往前對齊維度，缺失或為1的維度可擴展。

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二、比較運算（Comparison）

返回布爾數組，常用於篩選。

a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([1, 3, 2, 4])

print(a == b)   # [ True False False  True]
print(a != b)   # [False  True  True False]
print(a > 2)    # [False False  True  True]
print(np.equal(a, b))  # 等價於 a == b

多數組比較

# 找出三個數組中相等的位置
c = np.array([1, 3, 3, 4])
mask = (a == b) & (b == c)
print(mask)  # [ True False  True  True]

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三、邏輯運算（Logical Operations）

適用於布爾數組。

運算	函數	説明
與	np.logical_and(x, y) 或 x & y	元素級 AND
或	np.logical_or(x, y) 或 x \| y	元素級 OR
非	np.logical_not(x) 或 ~x	元素級 NOT
異或	np.logical_xor(x, y)	XOR

x = np.array([True, False, True])
y = np.array([True, True, False])

print(x & y)           # [ True False False]
print(np.logical_and(x, y))  # 同上

print(~x)              # [False  True False]

⚠️ 注意：對非布爾數組使用 &, | 會執行位運算（見下文），而非邏輯運算！

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四、位運算（Bitwise Operations）

對整數類型的二進制位進行操作。

運算符	函數	説明
&	np.bitwise_and	按位與
\|	np.bitwise_or	按位或
^	np.bitwise_xor	按位異或
~	np.invert	按位取反
<<	np.left_shift	左移
>>	np.right_shift	右移

a = np.array([1, 2, 3])  # 二進制: 01, 10, 11
b = np.array([3, 2, 1])  #         11, 10, 01

print(a & b)   # [1 2 1] → 01&11=01, 10&10=10, 11&01=01
print(a << 1)  # [2 4 6] → 左移1位（×2）

💡 位運算常用於掩碼操作、圖像處理、嵌入式系統等。

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五、通用函數（ufunc: Universal Functions）

ufunc 是 NumPy 的核心，提供向量化、快速、元素級的數學函數。

1. 常見數學 ufunc

x = np.array([0, np.pi/2, np.pi])

print(np.sin(x))      # [0.0, 1.0, ~0.0]
print(np.cos(x))      # [1.0, ~0.0, -1.0]
print(np.exp(x))      # [1.0, ~4.81, ~23.14]
print(np.log([1, np.e, np.e**2]))  # [0. 1. 2.]
print(np.sqrt([4, 9, 16]))         # [2. 3. 4.]

2. 累積與聚合 ufunc

a = np.array([1, 2, 3, 4])

print(np.add.reduce(a))     # 10（求和）
print(np.multiply.reduce(a))# 24（連乘）

print(np.add.accumulate(a)) # [1 3 6 10]（前綴和）

3. 自定義 ufunc（高級）

# 將普通函數轉為 ufunc
def my_func(x, y):
    return x**2 + y**2

my_ufunc = np.frompyfunc(my_func, 2, 1)
result = my_ufunc([1, 2], [3, 4])  # 返回 object 數組

⚠️ frompyfunc 性能較低，僅用於無法向量化的場景。

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六、矩陣與線性代數（numpy.linalg）

Ⅰ. 矩陣乘法

在 NumPy 中，矩陣（Matrix） 有兩種主要表示方式：

1. ​**普通的二維 ndarray**​（推薦方式）
2. 已棄用的 np.matrix 類

下面將詳細講解這兩種方式，並重點説明​**為什麼現代 NumPy 推薦使用 ndarray 而非 matrix**​，以及如何高效進行矩陣運算。

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np.matrix：歷史遺留（已棄用）

1. 創建方式

import numpy as np

# 從字符串、列表或 ndarray 創建
M = np.matrix([[1, 2], [3, 4]])
N = np.matrix('1 2; 3 4')  # 字符串形式
print(M)
# [[1 2]
#  [3 4]]

2. 特點

• ​始終是二維的​（即使你試圖 reshape）
• ​*** 表示矩陣乘法**​（不是逐元素相乘）
• 有 .I（逆）、.T（轉置）等屬性

A = np.matrix([[1, 2], [3, 4]])
B = np.matrix([[5, 6], [7, 8]])

print(A * B)  # 矩陣乘法！
# [[19 22]
#  [43 50]]

print(A.I)    # 逆矩陣
print(A.T)    # 轉置

3. ❌ 為什麼被棄用？

• ​行為不一致​：與 ndarray 混用時容易出錯
• ​維度限制​：無法表示三維及以上張量（深度學習必需）
• ​社區共識​：NumPy 官方自 ​1.15 版本起標記為 deprecated​，未來可能移除

📌 ​官方建議​：​**不要使用 np.matrix**​，改用 ndarray + @ 運算符。

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✅ 推薦方式：使用二維 ndarray 表示矩陣

1. 創建矩陣（本質是 2D array）

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])   # shape: (2, 2)

B = np.arange(1, 5).reshape(2, 2)
# [[1 2]
#  [3 4]]

2. 矩陣運算（使用標準 NumPy 函數和運算符）

操作	推薦寫法	説明
矩陣乘法	A @ B 或 np.dot(A, B)	Python 3.5+ 支持 @
逐元素乘法	A * B	默認行為
轉置	A.T 或 A.transpose()
逆矩陣	np.linalg.inv(A)
行列式	np.linalg.det(A)
解方程 Ax=b	np.linalg.solve(A, b)

示例：

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]], dtype=float)
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]], dtype=float)

# 矩陣乘法
C = A @ B
print("A @ B =\n", C)

# 轉置
print("A.T =\n", A.T)

# 逆矩陣
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("A⁻¹ =\n", A_inv)
print("A @ A⁻¹ ≈ I:\n", A @ A_inv)  # 應接近單位矩陣

# 解線性方程組
b = np.array([5, 11])
x = np.linalg.solve(A, b)
print("Solution x =", x)  # [1. 2.] → 1*1+2*2=5, 3*1+4*2=11

輸出：

A @ B =
 [[19. 22.]
  [43. 50.]]
A.T =
 [[1. 3.]
  [2. 4.]]
A⁻¹ =
 [[-2.   1. ]
  [ 1.5 -0.5]]
A @ A⁻¹ ≈ I:
 [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
  [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
Solution x = [1. 2.]

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常用矩陣操作彙總（基於 ndarray）

1. 基本屬性

M = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

print(M.ndim)   # 2
print(M.shape)  # (2, 3)
print(M.size)   # 6

2. 特殊矩陣構造

# 零矩陣
Z = np.zeros((3, 3))

# 單位矩陣
I = np.eye(3)        # 或 np.identity(3)

# 對角矩陣
D = np.diag([1, 2, 3])

# 隨機矩陣
R = np.random.rand(2, 2)

3. 矩陣分解（numpy.linalg）

A = np.array([[1, 2], [3, 4]], dtype=float)

# 特徵值分解
eigenvals, eigenvecs = np.linalg.eig(A)

# 奇異值分解 (SVD)
U, s, Vt = np.linalg.svd(A)

# QR 分解
Q, R = np.linalg.qr(A)

4. 範數與條件數

# L2 範數（譜範數）
norm_A = np.linalg.norm(A, 2)

# Frobenius 範數
fro_norm = np.linalg.norm(A, 'fro')

# 條件數
cond_num = np.linalg.cond(A)

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廣播與矩陣運算的注意事項

1. 矩陣乘法維度必須匹配

A = np.random.rand(3, 4)
B = np.random.rand(4, 2)
C = A @ B  # ✅ (3,4) @ (4,2) → (3,2)

# D = A @ A  # ❌ (3,4) @ (3,4) → 維度不匹配！

2. 向量與矩陣相乘

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
v = np.array([1, 2])  # shape: (2,) —— 一維向量

# 左乘：v^T A → 結果是行向量（一維）
result1 = v @ A  # [7, 10]

# 右乘：A v → 結果是列向量（一維）
result2 = A @ v  # [5, 11]

# 若需顯式列向量，用 reshape
v_col = v.reshape(-1, 1)  # shape: (2, 1)
Av = A @ v_col  # shape: (2, 1)

💡 NumPy 中的一維數組在矩陣乘法中​自動視為行或列向量​，非常靈活。

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實際應用示例

📌 示例 1：線性迴歸（最小二乘解）

# 數據：X (n_samples, n_features), y (n_samples,)
X = np.array([[1, 1],
              [1, 2],
              [1, 3]])  # 添加偏置項
y = np.array([2, 3, 4])

# 正規方程：w = (X^T X)^{-1} X^T y
XTX_inv = np.linalg.inv(X.T @ X)
w = XTX_inv @ X.T @ y
print("Weights:", w)  # [1. 1.] → y = 1 + 1*x

📌 示例 2：圖像仿射變換（旋轉矩陣）

theta = np.pi / 4  # 45度
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])  # 旋轉矩陣

point = np.array([1, 0])  # x軸上的點
rotated = R @ point
print("Rotated point:", rotated)  # [0.707, 0.707]

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總結：矩陣操作最佳實踐

項目	推薦做法
數據結構	使用 np.array（二維），不要用 np.matrix
矩陣乘法	用 @ 或 np.dot()
轉置	用 .T
逆矩陣	用 np.linalg.inv()
解方程	用 np.linalg.solve()（比求逆更穩定高效）
高維張量	ndarray 支持任意維度，matrix 不支持

🔑 ​核心理念​：​**統一使用 ndarray**​，通過 @ 和 linalg 模塊完成所有矩陣運算，代碼更清晰、兼容性更好、性能更優。

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Ⅱ. 常用線性代數函數（np.linalg）

NumPy 通過 np.dot 和 numpy.linalg 模塊支持線性代數運算。

函數	説明
np.linalg.inv(A)	矩陣求逆
np.linalg.det(A)	行列式
np.linalg.eig(A)	特徵值與特徵向量
np.linalg.solve(A, b)	解線性方程組 Ax = b
np.linalg.norm(x)	向量/矩陣範數（默認 L2）
np.linalg.svd(A)	奇異值分解

示例：解線性方程組

# 2x + y = 5
# x + 3y = 10

A = np.array([[2, 1],
              [1, 3]])
b = np.array([5, 10])

x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)  # [1. 3.] → x=1, y=3

示例：計算矩陣的 Frobenius 範數

norm = np.linalg.norm(A, 'fro')  # 或默認 ord=None

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七、其他重要運算

1. 聚合函數（Reduction）

arr = np.array([[1, 2, 3],
                [4, 5, 6]])

print(arr.sum())          # 21
print(arr.sum(axis=0))    # [5 7 9]（按列求和）
print(arr.mean(axis=1))   # [2. 5.]（每行均值）
print(np.std(arr))        # 標準差
print(np.max(arr))        # 最大值

2. 四捨五入

x = np.array([1.234, 2.567, 3.891])
print(np.round(x, 1))  # [1.2 2.6 3.9]
print(np.floor(x))     # [1. 2. 3.]
print(np.ceil(x))      # [2. 3. 4.]

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八、小結：運算類型速查表

類型	示例函數/運算符	説明
算術	+ - * / ** %	逐元素運算，支持廣播
比較	== != > < >= <=	返回布爾數組
邏輯	& \| ~（布爾數組）	邏輯與/或/非
位運算	& \| ^ ~ << >>（整數）	二進制位操作
ufunc	np.sin, np.exp, np.sqrt	向量化數學函數
矩陣乘法	@, np.dot	線性代數乘法
線性代數	np.linalg.inv, solve, eig	高級矩陣運算
聚合	sum, mean, std, max	沿軸歸約

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九、注意事項

1. **區分 * 與 @**：

   • A * B：逐元素相乘
   • A @ B：矩陣乘法

2. 廣播陷阱：

   a = np.array([1, 2])
   b = np.array([[1], [2]])
   print(a + b)  # shape (2,2) —— 小心意外廣播！
   

3. 整數溢出：

   x = np.array([200], dtype=np.uint8)
   print(x * 2)  # 144（200*2=400 → 溢出迴繞）
   

4. 除零警告：

   np.seterr(divide='ignore', invalid='ignore')  # 控制警告行為
   

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後續

本文主要講述了numpy數組相關的運算。python過渡項目部分代碼已經上傳至gitee，後續會逐步更新，主要受時間原因限制，當然自己也可以克隆到本地學習拓展。

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