1、損失函數（代價函數）

損失函數（loss function）是用來估量模型的預測值f(x)與真實值Y的不一致程度，它是一個非負實值函數,通常使用L(Y, f(x))來表示，損失函數越小，模型的魯棒性就越好。損失函數和代價函數是同一個東西，目標函數是一個與它們相關但更廣的概念。

上面三個圖的函數依次為 

 , 

 , 

 。我們是想用這三個函數分別來擬合Price，Price的真實值記為 Y 我們給定

，這三個函數都會輸出一個

,這個輸出的

與真實值 Y可能是相同的，也可能是不同的，為了表示我們擬合的好壞，我們就用一個函數來度量擬合的程度，比如：

，這個函數就稱為損失函數(loss function)，或者叫代價函數(cost function)。損失函數越小，就代表模型擬合的越好。

那是不是我們的目標就只是讓loss function越小越好呢？還不是。

這個時候還有一個概念叫風險函數(risk function)。風險函數是損失函數的期望，這是由於我們輸入輸出的

遵循一個聯合分佈，但是這個聯合分佈是未知的，所以無法計算。但是我們是有歷史數據的，就是我們的訓練集，

關於訓練集的平均損失稱作經驗風險(empirical risk)，即

，所以我們的目標就是最小化

，稱為經驗風險最小化。

統計學習常用的損失函數有以下幾種：

1）0-1損失

　　

2）平方損失函數

　　當樣本個數為n時，此時的損失函數變為：

　　

　　在實際應用中，通常會使用均方差（MSE）作為一項衡量指標

 3）絕對損失函數

　　

4）對數損失函數

　　

2、目標函數

如果到這一步就完了的話，那我們看上面的圖，那肯定是最右面的

的經驗風險函數最小了，因為它對歷史的數據擬合的最好嘛。但是我們從圖上來看

肯定不是最好的，因為它過度學習歷史數據，導致它在真正預測時效果會很不好，這種情況稱為過擬合(over-fitting)。為什麼會造成這種結果？大白話説就是它的函數太複雜了，都有四次方了，這就引出了下面的概念，我們不僅要讓經驗風險最小化，還要讓結構風險最小化。這個時候就定義了一個函數

，這個函數專門用來度量模型的複雜度，在機器學習中也叫正則化(regularization)。常用的有

,

範數。到這一步我們就可以説我們最終的優化函數是：

，即最優化經驗風險和結構風險，而這個函數就被稱為目標函數。結合上面的例子來分析：最左面的

結構風險最小（模型結構最簡單），但是經驗風險最大（對歷史數據擬合的最差）；最右面的

經驗風險最小（對歷史數據擬合的最好），但是結構風險最大（模型結構最複雜）;而

達到了二者的良好平衡，最適合用來預測未知數據集。

參考：

【作者：zzanswer，