1.普通求極限

我們知道求極限的考點往往都是考分子分母型的，因為這樣可以有效利用等價/高階/低階無窮小的理論，即使求極限是加減乘的類型，我們也儘可能要轉化為除法的類型（這就是七種未定式），然而，知道這些還不夠，因為考研是一項選拔性考試，不是水平考核性質的考試，學會將應對水平考試的態度和習慣轉化為應對選拔性考試十分重要，在此基礎上，要清楚的認識到，高數教科書上的題只是最基本的，要應付考研，需要有更深入的思維。在求極限方面也是一樣（所以最基本的洛必達法則一般用不上）。

例題一、

面對這道題，用等價/高階/低階無窮小顯得不能用（因為是趨近於無窮），但是，我們就要比誰更大，即尋找最大項（張帆老師把這個叫“大哥理論”），然後使用無窮大替換（即用最大項替換全部），在 

 的時候，分子分母的最大項是冪次最高項，在 

 的時候分子分母的最大項是冪次最低項，所以對這道題來説，我們應該尋找冪次最高項，對分子來説， 

 和 

 是同一冪次的，所以，最大冪次是1，所以我們就把邊上那個1和根式裏面的 

 忽略掉就行了，對於分母來説，最大冪次也是1，至於 

 的冪次，因為 

 始終是小於等於一的，所以可以把他的冪次當作是常數，也就是0，可以忽略掉，這樣一來公式就變成了

由於 

 是趨向於負無窮的，所以原式等價於 

 也就是1。

例題二、

基本操作， 

 裏的東西減去個1然後等價無窮小替換.

變成了 

我們知道，等價/高階/低階無窮小替換的本質其實是轉化為冪函數的形態，所以為了在0處能夠把sinx和cosx轉化為冪函數，在加減法的環境下應用等價無窮小，就要用到麥克勞林公式（平時老師説不能在加減法情況下應用等價無窮小是因為精度不夠，應用了麥克勞林公式就能確保精度，那麼到底要展開到哪幾項呢？因為分子分母的最大項精度要保持一致才能互相消去，比如這道題就要分母上下可以同時展開到

 的一次冪就能互相消去。），其中 

 的展開是 

 而 

 的展開是 

 ，所以 

 保留最大項目 

 ，

 保留1，而分子中的 

 也可以展開為 

 （這裏用到了一個展開公式 (

 當然你直接用麥克勞林也行，只不過用公式會更快一點）,由於分母最大項是1次冪，所以保留 

 即可這樣原式就變成了

例題三、

這道題需要用到一個小技巧，即 

 ,則分母變為 

 , 

 在 

 的時候接近於e，由於非零因式直接帶入原則所以可以去掉，剩下來的用以上兩個例題的技巧可以輕鬆解決（事實上，類似 

 這樣的式子有一個特點，那就是 

 型，這一類型的極限一般是提取一個公共因子使得成為 

 類型）。

例題四、

由於是 

 所以可以用泰勒公式展開得到:

例題五、

這裏要注意 

 的時候分為 

和 

 兩類， 

 的時候

，先等價無窮小替換，得到 

以及 

 原式變成

而 

 的時候原式變成了 

 這個時候要求趨向於無窮的時候，雖然冪函數不適用於這種情況，但冪函數找最大項的本質是無窮大替換，所以我們可以用到速度的階的理論，在x趨向於無窮或者0的時候，指數函數>>冪函數>>對數函數，這個式子裏ln裏的1完全可以被替換掉，因此原式就變成了

同理，以下極限也可以應用這個理論,用一個因式替換全部：

例題六、

遇到有 

 的式子，可以先想辦法合併

例題七、

第一步先通分化為乘除法得到 

此時，分母無窮小替換得 

此時，我們可以想到，分子的最大項為次數最小的項，通過對分子進行麥克勞林展開可以發現， 

 次數最小的項不是 

 就是 

 ,當然由於 

被消掉了，因此展開得到分子： 

注意，這裏有些同學可能覺得分子化到 

 就夠了，沒必要化到 

 項，事實上，因為分母的最小項是 

 ,所以分子務必也要化到 

 來確保精度。

例題八、

遇到 

 的時候要首先想到平方差公式來化簡，如在這道題使用平方差公式化簡後變成 

例題九、化冪指函數為對數

這一類的題比較特殊，比如下面這道題會有同學將兩個重要極限之一 

 帶入求得答案1，事實上，這個答案是錯誤的，正確的答案是1

設函數 

 在 

 的某領域內有定義，且 

 ,求 

用同樣方法化為對數做。

例題十、

某些函數等價無窮小也比較難替換，可以用拉格朗日中值定理來等價無窮小替換

數列極限： 

從而 

例題十、綜合應用

這一類較為繁瑣，可能同時用到變限積分、泰勒、等價無窮小、洛必達，一般做題的順序是先等價無窮小、再泰勒、最後用洛必達，中間化簡的過程中遇到極限為常數的因子直接帶常數。

首先令 

 化簡變限積分得到 

 提出 

 得到

使用等價無窮小替換 

 並使用常數替換極限為常數的因子 

 得到

使用泰勒公式得到

最後使用洛必達法則

 

下面附上一些常用泰勒展開和等價無窮小，考試的時候務必要記住:

其中 ①式減②式可以得到 

1減③式可以得到 

④式減1可以得到 

⑤式減1，可以得到 

還有一些要記住 

2.變限積分求極限

一句話，變限積分求極限，一般用洛必達法則,既然應用了洛必達法則，那麼變限積分的求導一定又是過不去的一道坎。這個我打算放到求導那章整理。

此外，某些變限積分的極限化簡可以用泰勒公式來簡化.

例1 

這道題常規做法是用洛必達化為 

實際上用泰勒展開也可以做

例2 

原式 

 

例3 

這道題分母為1，不能用洛必達，又是趨於無窮不能用泰勒，只能用夾逼準則了。

當 

 時 

 趨於0且單調遞減故當 

 時有 

由於 

 可以被當作常數

故

由於上式左右兩端在 

 時候的極限都為0

故由夾逼準則

3.數列求極限

數列求極限的方法主要用到了夾逼準則、單調有界準則、化為定積分求解

例題1：

證明:(1) 

(2)設 

 ,則數列極限存在

解：

（1）遇到有根式的分母，首先想到的是分子分母有理化，不等式左右兩側分母無法進一步有理化，只能分式中間開始有理化,同時乘以 

 ，使用平方差公式得到：

變形得到：

上式很容易看出成立。

（2）數列極限，要用到單調有界準則，至於怎麼用，第一問給了提示。首先判斷數列的單調性，讓 

故數列單調遞減，這樣只要證明數列大於某個數就行了，由第一問的結果可以將數列放縮為：

故

 有界，則 

 有極限。

例題2：

設數列 

 滿足： 

 ,證明 

 收斂，並求 

解：可以用拉格朗日證明數列的單調性

 

由於 

 單調，故 

 單調遞減由於 

 的具體公式沒有給出，而僅僅只給出了 

 ,所以採用數學歸納法。當 

 時， 

假設 

 時 

當 

 時 

則 

故對所有 

 都有 

由於 

 單調有界，故有極限。

這個時候，不妨設極限為一個常數

設 

則 

故由 

得到 

求得 

 ,故極限為0。

例題3：

求極限 

這個要用到夾逼準則，而這種無窮數列恰好又能化為定積分。

變形

轉化為積分 

從而得到極限為 

 即 

例題4：

這題一開始想到夾逼準則，但是實際上不太行，正確思路是化為定積分

原式= 

例題5：

當 

 時， 

求極限

我們知道，取對數可以解決的問題有兩種，一種是 

 的時候可以取對數，還有一種則是本例，把乘除化為加減

由於 

故由夾逼準則得原式= 

 

方法一：等價無窮小的轉化　　　　在乘除中使用

方法二：極限的四則運算法則

方法三：洛必達法則

方法四：泰勒公式

方法五：兩多項式相除

6：無窮小與有界函數的處理方法

7：數列極限中等比等差數列公式的應用

8：數列極限中各項的拆分相加

9：利用Xn 與Xn+1極限相同求極限

10：夾逼準則

11：兩個重要極限的應用

12：當趨於無窮大時，不同函數趨於無窮的速度是不一樣的。

13：換元法

14：利用定積分求極限

15：重要的高階無窮小