集合論是數學的一個分支，研究集合、它們的運算和它們的性質。
- 集合由不重複的項組成。
基本符號
運算符
- 並運算符，∪，表示“或”；
- 交運算符，∩，表示“且”；差
- 運算符，\，表示“不包括”；
- 補運算符，'，表示補集;
- 叉積運算符，×，表示笛卡爾積。
限定詞
- 冒號限定詞，:，表示“使得”；
- 從屬限定詞，∈，表示“屬於”；
- 子集限定詞，⊆，表示“是……的子集”;
- 真子集限定詞，⊂，表示“是……的真子集”。
重要的集合
- ∅，空集，即不包含任何元素的集合；
- ℕ，自然數集；
- ℤ，整數集；
- ℚ，有理數集；
- ℝ，實數集。
關於以上集合，有如下幾點需要注意： 1. 空集是其本身的子集（並且也是任何其他集合的子集），即便空集不包含任何項； 2. 數學家們對於零是否為自然數的看法通常並不統一，教科書一般會明確説明作者是否認為零是自然數。
基數
集合的基數，或者説大小，由該集合中的項目數量決定。基數運算符為 |...|。
例如，若 S = { 1, 2, 4 }，則 |S| = 3。
空集
- 可以在集合符號中使用不成立的條件來構造空集，例如，∅ = { x : x ≠ x }，或 ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }；
- 空集總是唯一的（即，有且只有一個空集）；
- 空集是所有集合的子集；
- 空集的基數為 0，即 |∅| = 0。
集合的表示
集合的逐項構造
集合可以通過包含其全部項的列表逐項生成。例如，S = { a, b, c, d }。
只要構成集合的項清楚，長列表可以用省略號縮短。例如，E = { 2, 4, 6, 8, ... } 顯然為所有偶數構成的集合，它包含無窮多項，雖然我們只顯式寫出了其中四項。
集合構造器
集合構造器符號是構造集合的一種更具描述性的方式。它依賴於一個主語和一個謂詞，使得 S = { 主語 : 謂詞 }。 例如，
A = { x : x 是元音字母 } = { a, e, i, o, u, y}
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
有時，謂詞可能會 “漏 "到主語中，例如，
D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }關係
從屬關係
- 如果值 a 包含在集合 A 中，那麼我們説 a 屬於 A，並用符號表示為 a ∈ A。
- 如果值 a 不包含於集合 A 中，那麼我們説 a 不屬於 A，並用符號表示為 a ∉ A。
相等關係
- 如果兩個集合包括相同的項，那麼我們説這兩個集合相等，例如，A = B。集合的相等關係於順序無關，例如 { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }。
- 集合中的元素不能重複，例如 { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }。
- 集合 A 與 B 相等當且僅當 A ⊆ B 且 B ⊆ A。
特殊集合
冪集
- 令 A 為任意集合。冪集指的是包括了 A 的所有子集的集合，記作 P(A)。如果集合 A 由 2n 個元素組成，那麼 P(A) 中有 2^n 個元素。
P(A) = { x : x ⊆ A }
兩個集合的運算
並
給定集合 A 和 B，兩個集合的並由出現在 A 或 B 中的項構成，記作 A ∪ B。
A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
交
給定集合 A 和 B，兩個集合的交由出現在 A 和 B 中的項構成，記作 A ∩ B。
A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
差
給定集合 A 和 B，A 對於 B 的集合差指的是屬於 A 但不屬於 B 的每一項。
A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
對稱差
給定集合 A 和 B，對稱差指的是屬於 A 或 B 但不屬於它們交集的所有項。
A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)笛卡爾積給定集合
A 和 B，A 和 B 的笛卡爾積由 A 和 B 的項的所有組合構成。
A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
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Translated by: Tianchen Xu
© 2022Translated by: Tianchen Xu
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