怎樣通俗地理解線性相關與線性無關？判斷線性相關性的常用方法有哪些？為什麼線性無關向量是向量空間基構建的核心？

在現代科學與工程的研究中，向量空間理論是分析和建模的基礎工具。從量子力學中的態矢量到信號處理中的特徵提取，再到機器學習中的高維數據表示，向量的結構關係直接決定了系統的複雜性和可分析性。理解向量之間的線性相關性和線性獨立性，不僅是掌握線性代數的關鍵，更是把握信息獨立性和系統完整性的前提。 表面上，線性相關與線性無關似乎只是簡單的數學定義：一組向量能否通過其他向量的線性組合表示