（以下機翻，僅供個人學習）

“就數學理論而言，它們是關於現實的，它們是不確定的；就它們是確定的而言，它們不是關於現實的。” - 艾爾伯特愛因斯坦

這次的目標很簡單：解釋什麼是導數。但事實是，這個話題有一些微妙之處，如果你不小心的話，可能會出現一些悖論，所以第二個目標是你對這些悖論是什麼以及如何避免它們有一些瞭解。

人們通常説導數衡量的是“瞬時變化率”，但如果你仔細想想，這句話實際上是一個矛盾的説法。改變是在不同的時間點之間發生的事情，當你對所有的一切都視而不見，只看到一個瞬間時，就沒有更多的改變空間了。

即使“瞬時變化率”這個短語嚴格來説沒有意義，但這個短語所要調用的卻是一個非常真實的概念。微積分的發明者花了相當多的聰明才智才確定了這個想法，我們現在稱之為導數。

（幾位）微積分的發明者

汽車搬家

作為我們的中心示例，想象一輛在某個時刻啓動的汽車加速，然後在某個時刻減慢至停止數米之外，在整個過程中1010 seconds. 秒。不同時間點兩點之間汽車的位置。

我們可以繪製這個運動的圖表，讓垂直軸代表行進的距離，水平軸代表時間。

 行駛距離（米）

每一次t,用水平軸上的點表示，圖表的高度告訴我們汽車在這段時間內行駛了多遠。像這樣命名距離函數是很常見的s(t)

我們用字母d表示距離，只不過它在微積分中已經有了另一個全職工作。

例如，圖形的高度告訴我們，6秒後汽車行駛了70米多一點。

行駛距離（米）t=6.

最初這條曲線很淺，因為汽車起步時速度很慢。在第一秒內，汽車行駛的距離幾乎沒有變化。在接下來的幾秒鐘內，隨着汽車加速，給定秒內行駛的距離變得更大，對應於圖中更陡的斜率。當接近終點時速度減慢，曲線再次變淺。

該圖突出顯示了不同時間間隔的圖表斜率，其中斜率計算為每個時間間隔的上升幅度。
如果我們將汽車的速度（以米每秒為單位）繪製為時間的函數，它可能看起來像下圖中所示的綠色凸起。

距離和速度圖

在時間t=0後不久，速度非常小。在行駛的中途，汽車會達到一定的最大速度，每秒行駛相對較長的距離。然後減慢到每秒0米的速度。

位置和速度

這兩條曲線彼此高度相關；如果更改特定的距離與時間函數，您將得到一些不同的速度與時間函數。我們想了解這種關係的具體情況。速度究竟如何取決於距離與時間的函數？例如，讓我們看一下不同的距離與時間函數。

在此圖中，汽車從停止位置出發，加速並減速回到停止位置5秒時間，然後汽車加速並再次減速至停止位置10秒時間。

值得花點時間批判性地思考速度在這裏的實際含義。直觀上，我們都知道給定時刻的速度意味着什麼，它就是汽車車速表當時顯示的任何內容。直觀上，當距離函數更陡峭時，有時速度應該更高，這可能是有意義的。當汽車單位時間內行駛的距離更長時。

例如，給定如下所示的汽車位置圖，汽車在什麼時間行駛得最快？

（汽車行駛的最快速度為t=3）

但有趣的是，單一時刻的速度是沒有意義的。或者至少如果我們將速度視為距離的變化除以時間的變化，那麼將我們的視圖隔離到單個時刻就不會為這兩種變化留下空間。如果我給你看一張汽車的照片，瞬間的快照，並問你它的速度有多快，你將無法告訴我。

你需要的是兩個時間點來比較，也許是比較4秒後走的距離和5秒後走的距離。這樣，就可以用距離變化量除以時間變化量。例如，下面的兩個快照顯示了汽車的位置。

利用這些信息，我們可以計算出該時間間隔內汽車的速度。

這就是速度，在給定時間內走過的距離。
那麼，我們如何看待一個速度的函數，它只取一個t值，一個時間快照。很奇怪，不是嗎?我們想把每個單獨的時間點和速度聯繫起來，但是計算速度需要比較兩個時間點。

如果這感覺很奇怪和矛盾，那很好！你正在努力解決微積分發明者所面臨的同樣的衝突，如果你想深入瞭解變化率，不僅僅是對於移動的汽車，而是對於科學中的各種場景，你需要一個解決方案這種明顯的悖論。

變化率

首先我們來談談現實世界，然後我們將進入一個純數學的世界。考慮一下如何為汽車建造一個實際的車速表。

在某個點上，比如行駛了3秒，速度計可能會測量汽車在很短的時間內走了多遠，可能是行駛了3秒到3.01秒之間的距離。然後計算速度的單位是米/秒等於這個很小的距離，米，除以這個很小的時間，0.01秒。

也就是説，實體汽車可以通過不在單個時間點實際計算速度，而是在非常短的時間內計算速度來回避這個悖論。

讓我們把這個時間差稱為“dt”，你可以把它想象成0.01秒，把由此產生的距離差稱為“ds”。所以那個時間點的速度是ds除以dt，距離的微小變化除以時間的微小變化。

從圖形上看，想象一下放大t=3上方距離與時間圖的點。dt是向右的一小步，因為時間在橫軸上，而ds是圖形高度的最終變化，因為縱軸表示行進的距離。

所以ds/dt是圖表上兩個非常接近的點之間的上升與運行斜率。

當然，t=3沒有什麼特別的，我們可以把它應用到任何時間點，所以我們把這個表達式ds/dt看作是t的函數，我可以給你一些時間，你可以給我這個比值在那個時間的值;速度作為時間的函數。

放大的上升超過運行的圖像t=6

例如，當我讓計算機繪製代表速度函數的凹凸曲線時，您可以將其視為每個點的距離與時間函數的斜率，這就是我讓計算機執行的操作：

首先，我選擇了一些小的dt值，比如0.01。然後，我讓計算機在00到1010之間多次觀察t，並計算距離函數s在(t+dt)減去這個函數在t處的值。即給定時間t與其後0.01秒之間的距離差。然後用時間差除以時間變化dt，這就得到了每一點周圍的速度，單位是米每秒。

有了這個公式，你可以給計算機任何表示距離函數s(t)的曲線，它可以計算出表示速度v(t)的曲線。

悖論

現在是暫停一下，思考一下的好時機，確保通過觀察時間的微小變化把距離和速度聯繫起來的想法是有意義的，因為現在我們要正面解決導數的悖論。ds/dt的概念，函數值s的微小變化除以輸入值tt的微小變化，幾乎就是導數。

即使我們汽車的速度計會觀察實際的時間變化，比如0.01秒來計算速度，即使我這裏的程序用來求給定位置函數的速度函數也使用了一個具體的dt值，在純數學中，對於任何特定的dt選擇，導數都不是這個比值。它是當dt趨近於0時比值的值。

切線

幸運的是，對於這個比值的含義有一個很好的直觀理解:對於任何特定的dtdt，這個比值ds/dt是經過圖上兩點的直線的斜率，也就是割線。

當dt趨近於0時，這兩點彼此趨近，這條割線的斜率趨近於圖上任意一點tt的切線的斜率。所以真正的導數，不是圖上兩個相鄰點之間的上升-超越斜率;它等於圖像在一點處的切線的斜率。

注意我沒説什麼:我沒説當dt無窮小的時候導數是什麼，不管這意味着什麼，我也沒説把dt代入0。遵循微積分的一般主題，這是一個兩步的過程首先考慮一個有限的小變化，一個實際的數字，比如0.0001，然後問當這個數字接近0時，你的答案是多少。

即使瞬間的變化沒有意義，但詢問在越來越短的時間內的變化率是有意義的。這是一種偷偷摸摸的方式來合理地討論單個時間點的變化率。是不是很簡潔?它在一瞬間與變化的悖論調情，而不需要觸摸它。

更奇妙的是，這個關於不同變化率的潛在抽象概念如何最終具有如此清晰和簡單的幾何意義。因為兩個相鄰點之間的割線的斜率接近其中一個點的切點的斜率當這兩個點靠近時。

由於瞬間的變化仍然沒有意義，與其將這條切線的斜率解釋為“瞬時變化率”，不如將其視為圍繞某一點的變化率的最佳常數近似值。

符號上的單詞

在本文中，我一直使用“dt”來表示t中具有一定實際大小的微小變化，而使用“ds”來表示s中產生的微小變化，s也具有實際大小。

但是微積分中的慣例是，每當你像這樣使用字母d時，你就在宣佈，你的目的是最終看到當dt接近0時會發生什麼。例如，函數s(t)的真實導數被寫成ds/dt，即使導數本身不是分數;它是這個分數在t中越小越接近的值。

例子

這裏有一個具體的例子。你可能認為當dt值越來越小的時候求這個比值會讓計算變得越來越困難，但與直覺相反，它會讓事情變得更容易。假設距離對時間的函數是t3。11秒後，車行駛了1^{3=1米，2秒後，車行駛了2}3=8米，以此類推。該函數如下所示。

該圖描繪了位置函數s(t)=t^3，並突出顯示了t=2的點。

我接下來要做的可能看起來有點複雜，但一旦塵埃落定，它真的很簡單，這是一種你在微積分中只需要做一次的事情。假設你想要特定時刻的速度ds/dt，比如t=2。現在，假設dt有一個實際的大小;我們馬上把它降到0。

該圖説明了近似速度t=2.

從2秒到2+dt秒的微小變化是s(2+dt) - s(2)除以dt

由於 \(s(t)=t^{3}\)，我們可以應用函數的定義，所以分子變成(2+dt)^3 - 2^3。

現在，我們可以用代數方法來解。請耐心聽我説，我向你們展示細節是有原因的。把頂部展開就得到了這個表達式:

現在有很多項，但它簡化了。2^{3項消掉了。剩下的都有dt，所以我們可以把它約掉。所以ds/dt等於3·2}2加上兩個不同的項，每個項都有dt。

所以如果我們問當dt接近0時會發生什麼，表示觀察越來越小的時間變化，我們可以忽略這些!由於不需要考慮特定的dt，我們已經消除了這個表達式中的許多複雜性!所以我們剩下的就是3·2^{2。這意味着在t}3的圖上t=2點的切線斜率正好是3·2^2，也就是12。

當然，選擇t=2沒有什麼特別的;更一般地説，t^{3的導數，作為t的函數，是3·t}2。

這是美麗的。這個導數是一個非常複雜的概念:我們有距離的微小變化除以時間的微小變化，但我們不考慮任何特定的微小時間變化我們開始討論這個東西接近於什麼。然而，我們最終得到了這樣一個簡單的表達式:3t^2。

在實踐中，你不會每次都進行所有的代數運算。知道t^{3的導數是3t}2是所有學微積分的學生都能馬上做的事情，不需要每次都重新推導，就像你知道一個簡單的代數規則一樣快速自動，比如x(y+z)=xy+xzx。下一章，我們會看到用幾何方法來考慮這個和其他導數公式。

我想通過向你們展示所有代數知識來説明的一點是當你考慮距離變化量除以時間變化量對於任何特定的dt值，比如dt=0.01，你會有一種混亂。

但是考慮dt趨於0時這個比值是多少，你就可以忽略很多亂七八糟的東西，實際上簡化了問題。

這就是微積分變得有用的核心。

零時的悖論

這個例子也為更具體地思考為什麼瞬時變化率的概念是矛盾的奠定了基礎。考慮這輛車按照這個t3距離函數行駛，考慮它在時刻t=0的運動。現在問你自己:汽車在那個時候移動嗎?

一方面，我們可以計算它在那一點的速度用這個函數的導數，\(3t^{2}\)，在t=0時是0。

從視覺上看，這意味着該點與圖形的切線是完全平坦的，所以汽車的“瞬時速度”是0，這表明它沒有移動。但是另一方面，如果它沒有在時刻0開始移動，它什麼時候開始移動?真的，停下來思考一下，那輛車在t=0時移動嗎?

花點時間來解釋一下距離函數的導數在這一點等於0意味着什麼。這意味着汽車繞這一點的速度的最佳常數近似值是0米/秒。例如，在t=0和t=0.1秒之間，汽車確實移動了，它移動了0.001米。這是非常小的，重要的是，與時間的變化量相比，這是非常小的，平均速度只有0.01米每秒。

對於時間上越來越小的位移，距離變化量與時間變化量之比接近於0，儘管在這種情況下，它永遠不會達到它。所以你認為這是在t=0時移動的嗎?我認為這個問題沒有意義，運動是發生在兩個時間點之間的事情，所以在給定的瞬間沒有意義。

人們很容易認為導數給出了這個概念的意義，很多人會很高興地説車在t=0時不運動，但在t>0時它一直在運動。就我而言，我建議不要太認真地對待“瞬時變化率”這個短語，而是將其視為“變化率的最佳常數近似值”的概念簡寫。

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