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彩筆運維勇闖機器學習--lasso迴歸 - 动态 详情

前言

彩筆運維勇闖機器學習，今天我們來討論一下lasso迴歸，本期又是一起數學推理過程展示

座標下降法

目標找到一組參數，使目標函數值最小。比如\(f(x,y)=3x^2+5xy+10y^2\)，要找到\(x,y\)使得\(f(x,y)\)取值最小

\[x_j^{(k+1)} = \arg \min_{x_j} f(x_1^{(k+1)}, \dots, x_{j-1}^{(k+1)}, x_j, x_{j+1}^{(k)}, \dots, x_n^{(k)}) \]

每次固定\(x_j\)之外的所有變量，對\(x_j\)進行最小化，然後不斷的迭代\(x_j\)

推導過程

我們就以上述提到的函數來推導一下，加深對這個過程的理解$$f(x,y)=3x2+5xy+10y2$$

1）首先先尋找一個點，\((1,1)\)，計算此時的函數值

\[f(1,1)=3x^2+5xy+10y^2=18 \]

2）分別對x,y求偏導

對x求偏導，並且令其導數為0：

\[\frac {\partial f}{\partial x}=6x+5y=0，x=-\frac{5}{6}y \]

同理對y求偏導

\[\frac {\partial f}{\partial y}=5x+20y=0，y=-\frac{1}{4}x \]

3）開始迭代，第一輪

調整x，固定y

\[x=-\frac{5}{6}y=-\frac{5}{6}·1 = -\frac{5}{6} \]

調整y，固定x

\[y=-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}·-\frac{5}{6}=\frac{5}{24} \]

此時函數值為：

\[f(-\frac{5}{6},\frac{5}{24})=3x^2+5xy+10y^2 \approx 2.3438 \]

第一輪結束：

  • 函數最小值\(f(x,y)=2.3438\)
  • \(|Δx|=|-\frac{5}{6}-1| \approx 1.8333\)
  • \(|Δy|=|\frac{5}{24}-1| \approx 0.7917\)

4）第二輪

重複第一輪的操作

調整x，固定y

\[x=-\frac{5}{6}y=-\frac{5}{6}·\frac{5}{24} = -\frac{25}{144} \]

此時函數值為：

\[f(-\frac{25}{144},\frac{5}{24})=3x^2+5xy+10y^2 \approx 0.4883 \]

調整y，固定x

\[y=-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}·-\frac{25}{144}=\frac{25}{576} \]

此時函數值為：

\[f(-\frac{25}{144},\frac{25}{576})=3x^2+5xy+10y^2 \approx 0.1221 \]

第二輪結束：

  • 函數最小值\(f(x,y)=0.1221\)
  • \(|Δx|=|-\frac{25}{6}-(-\frac{5}{6})| \approx 0.6597\)
  • \(|Δy|=|\frac{25}{576}-\frac{5}{24}| \approx 0.1649\)

5）不斷的迭代，直至收斂

隨着迭代次數的不斷增加，\(|Δx|\)、\(Δy\)、\(f(x,y)\)都在不斷減小

當\(|Δx|\)、\(Δy\)均小於\(10^{-4}\)，可以認為函數收斂

凸函數

通過上述的過程模擬，可以找到函數最小值時x,y分別是多少

對於函數\(f(x,y)=3x^2+5xy+10y^2\)，可以直接計算偏導數為0，從而求出最小值

\[\frac {\partial f}{\partial x}=6x+5y=0，x=-\frac{5}{6}y \]

\[\frac {\partial f}{\partial y}=5x+20y=0，y=-\frac{1}{4}x \]

解方程組：

\[\begin{cases} x=-\frac{5}{6}y \\ y=-\frac{1}{4}x \end{cases} \]

\[\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \]

該函數最小值是\(f(x,y)=0\)，且\(x=0,y=0\)

直接用偏導數可以計算出函數最小值，有前提條件，那就是該函數是凸函數。凸函數的定義：在函數上任意兩點連接的線段總是在函數圖上方或者重合

watermarked-lasso_1

局部最優解與全局最優解

如果函數不是凸函數，而是類似於這種，在某一個定義域內是凸函數

watermarked-lasso_2

使用座標下降法的時候，選擇的初始值如果在\((x1,x2)\)之間，那找到的最小值就是局部最小，而非全局最小。之前介紹的梯度下降法也有同樣的問題

那要怎麼解決這個問題呢？不好意思，我也不會，還沒學習到，所以暫時略過，後面再説 -_- !

lasso迴歸

介紹完座標下降法之後，最後來到了本文的主題，lasso迴歸，為什麼lasso迴歸能夠降低無用參數的影響？lasso迴歸就是添加了一個參數的絕對值之和作為懲罰項，用線性迴歸為例，線性迴歸的損失函數常用MSE

\[\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 \]

lasso的數學表達：

\[\mathcal{L} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} |β_j| \]

我們通過一個例子，來説明lasso迴歸的工作流程。有一個數學模型：2個特徵分別為\(x_1\)、\(x_2\)，分別使用不帶lasso懲罰項與帶lasso懲罰項來進行推導

樣本 \(β_1\) \(β_2\) y
1 1 1 2
2 2 1 2
3 3 2 4.5

最小二乘法

不帶lasso懲罰項，就直接用最小二乘法求解，在之前的小結中曾經推倒過多元迴歸中最小二乘法的計算公式：

\[β=(X^TX)^{-1}X^Ty_i \]

首先特徵矩陣\(X\)：
$ X=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
2 & 1 \
3 & 2
\end{pmatrix}
$， \(X\)的轉置
$ X^T=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
1 & 1 & 2 \
\end{pmatrix}
$

矩陣乘法，\(X^T·X= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} \)

矩陣求逆常用初等變換法以及伴隨矩陣法，對於上述演示數據，笨辦法我直接用伴隨矩陣求出來，但是都ai時代了，我決定使用chatgpt法（機智如我-_-） ：\((X^TX)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & \frac{14}{3} \end{pmatrix} \)

根據矩陣結合律，我先算一下後面：\(X^T·y_i = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21.5 \\ 14 \end{pmatrix} \)

最終計算出係數 \(\beta =(X^TX)^{-1}X^Ty_i = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & \frac{14}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 21.5 \\ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2.5}{3} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1 \\ 0.8333 \end{pmatrix} \)

最終，通過最小二乘法，擬合函數為

\[y = x_1+0.8333x_2 \]

帶lasso懲罰項

為了計算方便，先將公式簡化，把n去掉，因為同時縮放n倍，對於結果比對沒有影響

\[\mathcal{L} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} |β_j| = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} |β_j| \]

lasso有一個超參數\(\lambda\)，我們先設置一下\(\lambda = 2\)，用座標下降法：

1）首先尋找一個點\(\beta=(0,0)\)，計算出函數值

\[\begin{aligned} \mathcal{L} &= \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} |β_j| \\ &= ((2-\beta_1-\beta_2)^2 + (3-2\beta_1-\beta_2)^2 + (4.5-3\beta_1-2\beta_2)^2 + (\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|)) \\ &= 4+9+20.25 = 33.25 \end{aligned} \]

2）先分別求偏導

\[\begin{aligned} \frac {\partial f}{\partial \beta_1} &= ((2-\beta_1-\beta_2)^2 + (3-2\beta_1-\beta_2)^2 + (4.5-3\beta_1-2\beta_2)^2 + (\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|))' \\ &= 28\beta_1+18\beta_2-43 + (\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|)' \end{aligned} \]

這裏的懲罰項並沒有進行導數計算，原因一會再説，先記為\(f_{absolute}'=(\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|)'\)

所以最終對\(\beta_1\)求偏導：

\[\frac {\partial f}{\partial \beta_1} = 28\beta_1+18\beta_2-43 + f_{absolute}' \]

同理對\(\beta_2\)求偏導：

\[\frac {\partial f}{\partial \beta_2} = 18\beta_1+12\beta_2-28 + f_{absolute}' \]

由於絕對值在0處不可導，所以絕對值的導數需要分段來研究

\[\frac{\partial f_{absolute}}{\beta_i} = \lambda(|\beta_i|)' = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda·\beta_i \qquad ,\beta_i>0 \\ 0 \qquad ,\beta_i=0 \\ -\lambda·\beta_i \qquad ,\beta_i<0 \end{array} \right. \]

3）第一次迭代，\(\beta=(0,0)\)，更新\(\beta_1\)，固定\(\beta_2=0\)

\[\begin{aligned} \frac {\partial f}{\partial \beta_1} &= 28\beta_1+18\beta_2-43 + f_{absolute}' = 28\beta_1 - 43 + \lambda(|\beta_i|)' \\ &= \left\{ \begin{array}{ll} 28\beta_1-43+2 \qquad ,\beta_1>0 \\ 28\beta_1-43 \qquad ,\beta_1=0 \\ 28\beta_1-43-2 \qquad ,\beta_1<0 \end{array} \right. \end{aligned} \]

令偏導數為0

\[\begin{aligned} \beta_1 = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{41}{28} \approx 1.464 \qquad ,\beta_1>0 \\ \frac{43}{28} \qquad ,\beta_1=0 \\ \frac{45}{28} \approx 1.607 \qquad ,\beta_1<0 \end{array} \right. \end{aligned} \]

由於\(\beta_1<=0\)與計算結果矛盾，所以\(\beta_1=1.464\)

4）第一次迭代，固定\(\beta_1=1.464\)，更新\(\beta_2\)

\[\begin{aligned} \frac {\partial f}{\partial \beta_2} &= 18\beta_1+12\beta_2-28 + f_{absolute} = 12\beta_2-28 + \lambda(|\beta_i|)' \\ &= \left\{ \begin{array}{ll} 26.352+12\beta_2-28+2 \qquad ,\beta_2>0 \\ 26.352+12\beta_2-28 \qquad ,\beta_2=0 \\ 26.352+12\beta_2-28-2 \qquad ,\beta_2<0 \end{array} \right. \end{aligned} \]

令偏導數為0

\[\begin{aligned} \beta_2 = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{-0.352}{12} \approx -0.0293 \qquad ,\beta_2>0 \\ \frac{1.648}{12} \approx 0.1373 \qquad ,\beta_2=0 \\ \frac{3.648}{12} = 0.304 \qquad ,\beta_2<0 \end{array} \right. \end{aligned} \]

這個。。。。怎麼全是矛盾的？？計算出來的\(\beta_2\)都不對，那\(\beta_2\)到底取值是什麼，這裏要用次梯度來解決這個問題，一會再詳細討論，這裏只需要知道，\(\beta_2\)取值在[-0.0293, 0.304]之間，而最優解就是0

5）計算函數值

\[\begin{aligned} \mathcal{L}(1.464, 0) &= \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p} |β_j| \\ &= ((2-\beta_1-\beta_2)^2 + (3-2\beta_1-\beta_2)^2 + (4.5-3\beta_1-2\beta_2)^2 + (\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta|)) \\ &\approx 0.2872+0.0582+0.2446+2.928 = 3.518 \end{aligned} \]

6）第一輪小結

  • 函數最小值\(\mathcal{L}(x,y)=3.518\)，從33.25下降而來
  • \(|Δ\beta_1|=|0-1.464| \approx 1.464\)
  • \(|Δ\beta_2|=|0-0| = 0\)

第一次迭代就已經把\(\beta_2\)給家人們打下來了，\(\beta_2\)對於尋找函數最小值，已經沒有意義了，換句話來説，該特徵對於提升模型性能意義不大

但是依然需要繼續尋找最合適的\(\beta_1\)，直至收斂，所以還需要繼續迭代下去，下面就不演示了

繼續迭代。。。。最終經過lasso迴歸的擬合函數應該是這樣的：

\[y=\beta_1x_1 \]

可以看到，lasso迴歸有可能把一些特徵的係數壓縮成0了，從而去掉該特徵對於目標函數的影響，從而降低該特徵的影響，提高了模型了泛化能力

次梯度

在剛才的推導中，遇到了這個問題，\( \begin{aligned} \beta_2 = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{-0.352}{12} \approx -0.0293 \qquad ,\beta_2>0 \\ \frac{1.648}{12} \approx 0.1373 \qquad ,\beta_2=0 \\ \frac{3.648}{12} = 0.304 \qquad ,\beta_2<0 \end{array} \right. \end{aligned} \)，\(\beta_2\)與所有的結果都是矛盾的，之所以會出現這種情況，是由於對絕對值求導數導致的。我們都知道，絕對值在0的時候是不可導的

當\(\beta=0\)的時候，需要使用次梯度的概念，什麼是次梯度，我這裏也不班門弄斧的搬概念了，大家有興趣自己去google一下

這裏只需要記住次梯度是一個集合，它的範圍就是，若\( \begin{aligned} \beta_2 = \left\{ \begin{array}{ll} \ a \qquad ,\beta_2>0 \\ \ b \qquad ,\beta_2<0 \end{array} \right. \end{aligned} \)，那\(\beta=0\)的次梯度是\([a,b]\)之間

更直接一點，如果我們在次梯度集合中，找到為0的選項，那就意味着找到了函數的最小值點

這也説明了，lasso迴歸不能直接用導數為0的方法來找最優解，需要用到座標下降法的原因

小結

筆者寫這篇文章的時候真是頭皮發麻，“凸函數”、“最優解”等名詞讓我回想起學生時代被高數、微積分支配的恐懼，如今再次面對，竟然能夠坦然處之，甚至覺得莫名親切，進而會心一笑。被動接受與主動求索，還真是不一樣

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至此，本文結束
在下才疏學淺，有撒湯漏水的，請各位不吝賜教...

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