基於MATLAB實現晶體共晶凝固模擬，結合了相場法（Phase Field）和元胞自動機（Cellular Automata）方法的核心思想，並參考了搜索結果中提到的凝固過程模擬技術。

1. 程序框架設計

1.1 模型選擇

共晶凝固涉及兩相（如α相和β相）的競爭生長及溶質再分配，推薦採用相場-溶質場耦合模型，並引入温度場控制凝固過程。核心方程包括：

  • 相場方程（Cahn-Hilliard方程）：描述界面演化
  • 溶質擴散方程：考慮Scheil或Kurz-Giovanoli溶質再分配
  • 熱傳導方程：控制凝固温度場

1.2 參數定義

% 物理參數
L = 256;          % 模擬區域尺寸 (LxL)
T_melt = 1800;    % 熔點温度 (K)
T_initial = 1750; % 初始温度 (K)
G = 10e3;         % 温度梯度 (K/m)
v_interface = 1e-4;% 界面移動速度 (m/s)
D_solute = 1e-9;  % 溶質擴散係數 (m²/s)

2. 初始化條件

2.1 相場初始化

% 初始相場：中心區域為液相，兩側為α相和β相核
phi = zeros(L,L);
phi(:,1:L/4) = 1;   % α相核
phi(:,3*L/4:end) = 2;% β相核

2.2 溶質場初始化

% 初始溶質濃度（均勻分佈）
C = 0.2 * ones(L,L); % 初始溶質濃度（假設為二元合金）

2.3 温度場初始化

% 線性温度梯度
T = T_initial + G * (0:L-1);

3. 主循環模擬

3.1 時間步進循環

dt = 0.01;  % 時間步長
for t = 1:1000
    % 更新温度場（熱傳導方程）
    T = update_temperature(T, G, dt);
    
    % 計算過冷度
    undercooling = T_melt - T;
    
    % 更新相場（Cahn-Hilliard方程）
    phi = update_phase_field(phi, undercooling, dt);
    
    % 更新溶質場（擴散+再分配）
    C = update_solute_field(C, phi, D_solute, dt);
    
    % 可視化
    visualize(phi, C, t);
end

3.2 關鍵子函數

(1) 温度場更新

function T = update_temperature(T, G, dt)
    % 使用顯式歐拉法求解熱傳導方程
    alpha = 1e-5;  % 熱擴散係數
    T = T + alpha * dt * del2(T) + G * dt; 
end

(2) 相場更新

function phi = update_phase_field(phi, undercooling, dt)
    % Cahn-Hilliard方程離散化
    epsilon = 0.02;  % 界面厚度參數
    M = 1.0;         % 界面移動係數
    
    % 計算化學勢
    mu = epsilon^2 * del2(phi) - undercooling .* (1 - 2*phi);
    
    % 更新相場
    phi = phi + M * dt * del2(mu);
    phi(phi > 1) = 1;  % 界面截斷
    phi(phi < 0) = 0;
end

(3) 溶質場更新

function C = update_solute_field(C, phi, D, dt)
    % 溶質擴散方程（Scheil模型）
    D_eff = D .* (1 + phi);  % 有效擴散係數
    C = C + D_eff * dt * del2(C);
end

4. 可視化與結果分析

function visualize(phi, C, t)
    figure(1);
    subplot(1,2,1);
    imagesc(phi);
    colormap([0 0 1; 1 0 0]);  % 紅色為β相，藍色為α相
    title(['Phase Field at t = ', num2str(t)]);
    
    subplot(1,2,2);
    imagesc(C);
    colormap(jet);
    title(['Solute Distribution at t = ', num2str(t)]);
    drawnow;
end

5. 模型擴展與優化

  1. 多晶粒模擬：在初始化時隨機分佈多個晶核，模擬等軸晶生長。
  2. 枝晶生長：引入各向異性界面能，修改化學勢計算。
  3. 激光加工耦合：添加激光能量輸入項，模擬快速凝固過程。
  4. 並行計算：使用MATLAB的parfor加速大規模模擬。