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計算機圖形學——Games101深度解析_第一章 - 動態詳情

09:47 上午 · 11月 07 ,2025

寫在前面

關於Games101深度解析參考了很多佬的文章，並且加上了自己的理解。主要感覺games101課程裏面還有很多由於時間原因都沒講的很詳細，略過了很多，所以我對於課程中困難的知識點進行了更多的步驟思路解釋，希望能對正在學習這篇課程的後者提供更清晰的思路。

本文建議配上games101視頻以及games101網站中的PDF配合學習https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html

這一章含有大量線代的幾何知識，對於線代的幾何理解可以跳到這學習（一步一步看完基本上就沒有太大的問題了）：https://www.bilibili.com/video/BV1Ys411k7yQ/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=93699bcffa78a7a266992d3b23c6dc20
這一章由於知識點都較為簡單，所以看起來會很雜，但是後面從第二章開始就開始有章法了。剛開始的數學基礎知識就不再提了，我們從線代在圖形學的應用開始。

參考文章：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/394932478
https://iewug.github.io/book/GAMES101.html#2-3d-transformation
https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html
https://caterpillarstudygroup.github.io/GAMES101_mdbook/index.html

向量叉乘的應用

上圖中，判斷p是否在三角形ABC的內側，只用將p點與ABC三點相連接，然後再分別叉乘三個邊，看結果的符號是否一致，若一致，那麼就在內側，反之亦然。
比如AP叉乘AB，然後BP叉乘BC，然後CP叉乘CA，他們的符號都是一致的，則P就在三角形的裏面

指令矩陣在圖形學的應用

\[\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} \]

上面的矩陣做的就是：在二維裏面，我們把整個圖形以y軸為對稱軸做一個對稱圖形。
那麼我們y軸就不用變，把x的數都換個符號就行。上面不止是指令矩陣的角度，線性變換也是這個角度。

幾種變換

根據上面的內容我們就可以得到下面的效果

縮放矩陣
拉伸變換
旋轉變換

平移變換
我們前面看了這麼多變換都是基於原點的變換，但是如果是下面的這個變換（平移）我們該怎麼表示呢？

我們這個時候就發現了，我們常規的矩陣往往都只能表示一個向量，但是我們明白，向量平移是不會改變什麼的，常規矩陣就是沒有辦法去表示平移這個動作。
這個時候我們就引入一個新的東西：齊次座標（homogeneous coordinates）

齊次座標是用N+1個數來表示N維座標的一種方式。

要製作二維齊次座標，我們只需在現有座標中增加一個額外的變量w，這個w並不代表更高維度的一個座標，簡單説就是表示這裏的（x,y）是一個向量或者是一個點。
因此，笛卡爾座標中的一點，(X，Y)在齊次座標中就變成了(x，y，w)。在w=1的時候，齊次座標就是一個點，而w=0的時候，齊次座標表示的就是一個向量。而笛卡兒座標中的X和Y在齊次座標中的x、y和w則重新表達為（這裏把所有的座標都除了一個\(w\) ,這樣\(w\) 的值就必定是1，那就是一個向量）

\[\begin{align} X = x/w\\ Y = y/w\\ \end{align} \]

那怎麼應用到實際的平移中呢，就是以下的變換。這樣的變換成功表示了每一個平移的點，而且直觀的有了一個平移的指令矩陣

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ w' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix} \]

歐氏空間中數學證明：兩條平行線可以相交

考慮以下歐氏空間的線性系統。

\[\begin{cases} Ax + By + C = 0 \\ Ax + By + D = 0 \end{cases} \]

而我們知道，由於 \(C \neq D\)，所以上述方程沒有解。如果 \(C = D\)，那麼兩條線是相同的（重疊的）。
讓我們重寫投影空間的方程，將 \( x \) 和 \( y \) 分別替換為 \( x/w \)，\( y/w \)。

\[\begin{cases} A\frac{x}{w} + B\frac{y}{w} + C = 0 \\ A\frac{x}{w} + B\frac{y}{w} + D = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Ax + By + Cw = 0 \\ Ax + By + Dw = 0 \end{cases} \]

現在，我們有一個解，(x, y, 0)，因為 (C-D)w = 0，所以 w = 0。因此，兩條平行線在 (x, y, 0) 處相交。
(x, y, 0) 在幾何上代表一條沒有起點與終點，也沒有長度的射線，它只有方向。

點與向量的加減

vector + vector = vector
point - point = vector
point + vector = vector
point + point = 兩點的中點 (因為\((x_1,y_1,1)\) + \((x_2,y_2,1)\) = \((x_1+x_2,y_1+y_2,2)\) = \((\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},1)\)）)

仿射變換

\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t_x \\t_y\end{pmatrix} \]

像這樣線性變換之後加上平移量的變換叫做放射變換
所有的放射變換都可以寫成齊次座標的形式

\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \]

[!danger]
注意: 在上面的變換中我們能夠發現，是先線性變換再進行平移的

縮放矩陣

\[\mathbf{S}(s_x, s_y) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

旋轉矩陣

\[\mathbf{R}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

平移矩陣：

\[\mathbf{T}(t_x, t_y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

逆變換

[!note]
逆變換剛好對應矩陣中：一個矩陣 x 該矩陣的逆矩陣 = 單位矩陣（什麼都沒做）

值得注意的是，如果旋轉負角度，我們就能發現:

[!note]
旋轉矩陣的逆矩陣就是旋轉矩陣的轉置矩陣：\({R_\alpha}^T={R_\alpha}^{-1}\)

[!note] 如果一個矩陣的逆等於他的轉置，那麼我們稱此矩陣為正交矩陣

\(\mathbf{R}(\alpha) = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\sin \alpha & \cos \alpha \\\end{pmatrix}\) \(\mathbf{R}(-\alpha) = \begin{pmatrix}\cos \alpha & \sin \alpha \\-\sin \alpha & \cos \alpha \\\end{pmatrix} ={R_\alpha}^T={R_\alpha}^{-1}\)